Bloque 1 · Elementos fundamentales y lugar geométrico

Dividir un segmento en dos partes iguales

Enunciado

Dado el segmento AB, encuentra con regla y compás el punto O que lo divide en dos partes iguales.

Idea clave. El punto medio de AB es donde la mediatriz corta al segmento, y por eso equidista de A y de B.

Abrir el compás menos de la mitad de AB: los arcos no se cortan y no hay construcción.
Cambiar la abertura al pasar de A a B: M y N dejan de equidistar y O no queda en el centro.
Trazar arcos demasiado cortos: los cortes se cruzan en ángulos muy cerrados y el punto sale impreciso.

Los pasos por escrito

Los datos. Tenemos el segmento AB. Hay que encontrar el punto O que lo parte en dos trozos iguales, sin usar la regla para medir. Medir con la regla y dividir entre dos es impreciso. El compás da un punto exacto.
Arcos con centro en A. Pincha el compás en A y ábrelo más de la mitad de AB. Traza un arco por encima y otro por debajo del segmento. Todos los puntos de un arco están a la misma distancia de su centro: el radio.
Arcos con centro en B. Sin cambiar la abertura, pincha en B y traza otros dos arcos que corten a los anteriores. Con el mismo radio desde A y desde B, los cortes quedan a igual distancia de los dos extremos.
Marca los cortes M y N. Los arcos se cortan en dos puntos, uno a cada lado de AB. Llámalos M y N. M y N equidistan de A y de B, así que los dos están en la mediatriz de AB.
Une M con N. Apoya la regla en M y N y traza la recta que pasa por los dos puntos. Debe cruzar el segmento AB. Dos puntos determinan una recta, y esa recta es la mediatriz de AB.
Marca el punto medio O. Señala con un punto el lugar donde la recta MN corta a AB. Llámalo O. La mediatriz de un segmento pasa por su punto medio, así que O reparte AB en dos partes iguales.
Comprueba el resultado. El segmento queda dividido en AO y OB, que miden lo mismo, y la recta MN forma 90° con AB. O está en la mediatriz, y los puntos de la mediatriz equidistan de A y de B: AO = OB.