Bloque 9 · Tangencias

Tangentes exteriores a dos circunferencias

Enunciado

Traza las dos tangentes exteriores comunes a las circunferencias de centros O1 y O2, con radios r1 = 40 mm y r2 = 15 mm.

Idea clave. Las tangentes exteriores comunes son paralelas a la recta que une los puntos de tangencia de una circunferencia auxiliar de radio r1 − r2.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Usar r1 + r2 para la auxiliar en lugar de r1 − r2: las tangentes salen desplazadas.
  • Trazar los radios O1P1 y O2P2 que no son paralelos: la recta no toca a las dos circunferencias.
  • Confundir las tangentes exteriores con las interiores, que cruzan la recta O1O2.
Los pasos por escrito
  1. Las dos circunferencias. Tenemos dos circunferencias: la grande de centro O1 y radio 40 mm, y la pequeña de centro O2 y radio 15 mm. Une O1 con O2. Las tangentes exteriores tocan a las dos circunferencias dejándolas en el mismo lado de la recta.
  2. Circunferencia auxiliar. Con centro O1 y radio r1 − r2 = 25 mm, traza una circunferencia auxiliar. Halla el punto medio M de O1O2. Restar r2 a las dos circunferencias convierte el problema en trazar tangentes desde O2 a la auxiliar.
  3. Puntos de tangencia desde O2. Con centro M y radio MO1, traza una circunferencia que corte a la auxiliar en Ta y Tb. Une O2 con Ta y con Tb. El ángulo O1TaO2 es recto, porque está inscrito en la circunferencia de diámetro O1O2: O2Ta es tangente a la auxiliar.
  4. Primera tangente exterior. Prolonga O1Ta hasta la circunferencia grande en P1, y traza por O2 la paralela O1Ta hasta la pequeña, en P2. Une P1 con P2. Los radios O1P1 y O2P2 son paralelos a O1Ta, así que P1P2 es perpendicular a ambos y toca a las dos circunferencias.
  5. Segunda tangente exterior. Repite con Tb: prolonga O1Tb hasta Q1 en la grande y traza la paralela por O2 hasta Q2 en la pequeña. Une Q1 con Q2. La segunda tangente sale igual que la primera, con el otro punto de tangencia Tb.
  6. Comprueba las tangencias. En P1 y en P2, el radio es perpendicular a la tangente: la recta P1P2 toca a las dos circunferencias. Una recta es tangente a una circunferencia cuando el radio en el punto de contacto es perpendicular a ella.