Bloque 7 · Proporcionalidad

Tercera proporcional

Enunciado

Dados los segmentos a = 60 mm y b = 40 mm, halla la tercera proporcional x tal que a/b = b/x.

Idea clave. Con dos semirrectas que salen de un mismo origen y una paralela, Thales convierte la proporción a/b = b/x en la igualdad de cocientes de segmentos sobre las rectas.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Llevar b sobre la semirrecta de a: P y Q quedan sobre el mismo segmento y la paralela no sirve.
  • Trazar la paralela por O en lugar de por Q: el corte no da la tercera proporcional.
  • Confundir x con b: la tercera proporcional es el cuarto término, no el segundo.
Los pasos por escrito
  1. Los segmentos a y b. Sobre una semirrecta desde O lleva a = OP = 60 mm y b = OQ = 40 mm. La otra semirrecta, OT, sale de O hacia arriba. Con dos semirrectas que salen del mismo origen, las longitudes sobre cada una se pueden comparar con Thales.
  2. Lleva b sobre la otra semirrecta. Pincha en O con la abertura b = 40 mm y corta la semirrecta OT en R. Ahora OR = b. OR mide lo mismo que b, así que tenemos a sobre una semirrecta y b sobre la otra.
  3. Une P con R. Une P con R con la regla. Esa recta es la guía de la paralela. La recta PR corta a los dos rayos en P y en R: sobre ella se apoya la paralela del paso siguiente.
  4. Paralela por Q. Por Q traza la paralela a PR. La paralela corta a la semirrecta OT en S. Por el teorema de Thales, OP/OQ = OR/OS: el segmento OS es la tercera proporcional x.
  5. El corte S y la proporción. Marca S, el corte de la paralela con OT. El segmento OS es x. Se cumple a/b = b/x: 60/40 = 40/OS. OS = b²/a = 40²/60 ≈ 26,7 mm: es la tercera proporcional de a y b.
  6. Comprueba las razones. OP/OQ = 60/40 = 1,5 y OR/OS = 40/26,7 ≈ 1,5: las dos razones coinciden. Las dos razones coinciden porque las rectas PR y QS son paralelas.