Bloque 7 · Proporcionalidad

División de un segmento con el teorema de Thales

Enunciado

Divide el segmento AB en tres partes iguales con regla y compás, usando una semirrecta auxiliar desde A.

Idea clave. Tres paralelas que cortan a dos secantes determinan segmentos proporcionales: si en la auxiliar las partes son iguales, también lo son en AB.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Trasladar la unidad con una abertura distinta en cada paso: AP1, P1P2 y P2P3 dejan de ser iguales.
  • Trazar las paralelas por P1 y P2 con una dirección distinta de P3B: los cortes D1 y D2 quedan mal.
Los pasos por escrito
  1. Los datos. Tenemos el segmento AB y una semirrecta auxiliar que sale de A hacia C. Hay que dividir AB en tres partes iguales. No podemos dividir AB directamente con la abertura del compás, así que trabajamos sobre una recta auxiliar donde sí podemos medir.
  2. Primera unidad sobre AC. Abre el compás una medida fija, cualquiera, y pincha en A. El arco corta a la auxiliar en P1. AP1 es la primera de tres partes iguales sobre la auxiliar.
  3. Traslada la unidad dos veces. Sin cambiar la abertura, pincha en P1 y marca P2; luego pincha en P2 y marca P3. AP1 = P1P2 = P2P3: tres unidades iguales sobre AC.
  4. Une P3 con B. Traza el segmento P3B. Es la recta a la que vamos a dar paralelas. Las paralelas a P3B que pasan por P1 y P2 cortan a AB en los puntos que buscamos.
  5. Paralelas por P1 y P2. Por P2 traza la paralela a P3B; por P1, la otra. Cada una corta a AB: los cortes son D2 y D1. Tres paralelas cortan a dos secantes en segmentos proporcionales.
  6. Marca D1 y D2. Marca los cortes de las paralelas con AB: D1 y D2. Las paralelas reparten AB en tres partes proporcionales a las de AC.
  7. Comprueba las tres partes. Los segmentos AD1, D1D2 y D2B son iguales: cada uno es un tercio de AB. Thales: la razón entre AD1 y AB es la misma que entre AP1 y AP3, es decir, 1/3.