Bloque 7 · Proporcionalidad

Media proporcional

Enunciado

Dados dos segmentos consecutivos AJ y JB sobre una recta, halla su media proporcional: el segmento h tal que AJ/h = h/JB.

Idea clave. En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes de la hipotenusa: el arco de diámetro AB lo garantiza.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Elegir el corte de la perpendicular que cae fuera de la semicircunferencia: H no está en el arco.
  • Confundir la media proporcional con la cuarta: JH no es un cuarto término sino el medio geométrico de AJ y JB.
Los pasos por escrito
  1. Los datos. Tenemos los segmentos consecutivos AJ y JB sobre la misma recta. Hay que hallar h, la media proporcional entre AJ y JB. La media proporcional aparece al proyectar un cateto o la altura de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa.
  2. Semicircunferencia de diámetro AB. Halla el punto medio de AB y traza la semicircunferencia de diámetro AB, por encima de la recta. Todo punto de una semicircunferencia de diámetro AB ve AB bajo un ángulo recto: forma triángulo rectángulo con A y B.
  3. Perpendicular a AB por J. Por J traza la perpendicular a AB, hacia arriba. Sobre esta perpendicular está la altura JH del triángulo rectángulo AHB, que es la media proporcional buscada.
  4. Corte H con la semicircunferencia. La perpendicular corta a la semicircunferencia en H. Marca H. H está en la semicircunferencia, así que forma triángulo rectángulo con A y B.
  5. El segmento JH. El segmento JH es la media proporcional h. Márcalo en trazo grueso. Así se cumple AJ/JH = JH/JB: JH es media proporcional entre AJ y JB.
  6. Comprueba la proporción. AJ/JH = JH/JB: el segmento JH cumple la proporción de la media proporcional. En el triángulo rectángulo AHB, la altura JH cumple JH² = AJ·JB.