Bloque 8 · Transformaciones

Triángulo semejante por homotecia

Enunciado

Dado el triángulo ABC, el centro de homotecia O y la razón 3/2, construye el triángulo semejante A'B'C'.

Idea clave. Una homotecia de razón k multiplica por k las distancias al centro: el triángulo resultante tiene los mismos ángulos y los lados en la razón k.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Medir la razón sobre el lado equivocado: el triángulo sale con lados que no están en la razón 3/2.
  • Tomar OA' igual a OA en lugar de 1,5 veces OA: la figura sale igual, no semejante.
  • Confundir homotecia y semejanza: la homotecia tiene lados paralelos, la semejanza general no.
Los pasos por escrito
  1. El triángulo y el centro. Tenemos el triángulo ABC y el centro de homotecia O. Vamos a construir otro triángulo con razón 3/2. Una homotecia de razón 3/2 lleva cada punto al que está 1,5 veces más lejos de O, en la misma dirección.
  2. Vértice A'. Une O con A y prolonga la recta. Lleva OA' = 1,5 · OA sobre esa recta y marca A'. A' está en la misma recta que O y A, a una distancia de O igual a 1,5 veces OA.
  3. Vértices B' y C'. Repite con B y con C: une O con cada vértice, prolonga y marca B' y C' a 1,5 veces su distancia a O. Así los tres vértices quedan en la misma razón respecto de O.
  4. El triángulo semejante. Une A' con B', B' con C' y C' con A'. Obtienes el triángulo A'B'C', semejante a ABC con razón 3/2. Los lados de A'B'C' son 1,5 veces los de ABC, y los ángulos no cambian.
  5. Comprueba la razón. AB/A'B' = 2/3 y BC/B'C' = 2/3: los lados están en la razón 3/2 y los ángulos coinciden. Una homotecia da lados paralelos y en razón constante: por eso es un caso particular de semejanza.
  6. Homotecia y semejanza. Como A'B' es paralelo a AB, la semejanza es una homotecia. Una semejanza con giro no tiene lados paralelos. Una homotecia conserva la dirección de las rectas; un giro la cambia, aunque los ángulos sigan iguales.