Bloque 6 · Polígonos regulares

Cuadrado y octógono inscritos

Enunciado

Inscribe un cuadrado en la circunferencia de centro O y radio 50 mm, y después un octógono regular bisecando sus ángulos centrales.

Idea clave. Bisecar los ángulos centrales de un polígono regular duplica su número de lados.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Usar un radio distinto de 36 mm para las dos bisectrices: el vértice Z sale desplazado y el octógono se deforma.
  • Tomar M225 en lugar de M45: el polígono queda cruzado y no es regular.
  • Olvidar que el octógono tiene ocho vértices y unir solo cuatro: sale otro cuadrado.
Los pasos por escrito
  1. La circunferencia. Tenemos la circunferencia de centro O y radio 50 mm, con el punto A sobre ella. Todos los puntos de la circunferencia están a 50 mm de O.
  2. Dos diámetros perpendiculares. Traza el diámetro AP180 horizontal y el diámetro P90P270 vertical. Se cortan en O con ángulo recto. Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro cuartos iguales.
  3. El cuadrado. Une A con P90, P90 con P180, P180 con P270 y P270 con A. Ya tienes el cuadrado inscrito. Los cuatro vértices están sobre la circunferencia y los cuatro arcos entre ellos miden 90°.
  4. Bisectriz del ángulo AOP90. Traza la bisectriz del ángulo central AOP90: con arcos de 30 mm desde O y de 36 mm desde los dos lados, halla su corte Z1. La bisectriz del ángulo central de 90° es la recta que forma 45° con los dos radios.
  5. Los vértices M45 y M225. La bisectriz corta la circunferencia en dos puntos: M45, entre A y P90, y M225, en el lado opuesto. M45 está a 45° de A, porque la bisectriz divide en dos el ángulo central de 90°.
  6. Bisectriz del ángulo P90OP180. Repite con el ángulo central P90OP180: arcos de 30 mm desde O y de 36 mm desde X2 e Y2. El corte Z2 define la bisectriz. La bisectriz de este segundo ángulo de 90° corta la circunferencia en M135 y en M315.
  7. Los vértices M135 y M315. La nueva bisectriz corta la circunferencia en M135, entre P90 y P180, y en M315, en el lado opuesto. Ahora tenemos ocho arcos iguales de 45° alrededor de O.
  8. El octógono. Une los ocho vértices en orden: A, M45, P90, M135, P180, M225, P270, M315 y de nuevo A. Ocho vértices sobre la circunferencia separados por 45° forman un octógono regular.
  9. Comprueba y sigue duplicando. Los ocho lados del octógono miden lo mismo, y sus vértices están sobre la circunferencia. Si bisecas otra vez sus ángulos centrales, obtienes un polígono de 16 lados. Cada bisección de los ángulos centrales duplica el número de lados: 4, 8, 16, 32...