Bloque 4 · Triángulos

Incentro y circunferencia inscrita

Enunciado

Dado el triángulo ABC, halla su incentro I y traza la circunferencia inscrita, tangente a los tres lados.

Idea clave. El incentro equidista de los tres lados del triángulo, y por eso es el centro de la circunferencia inscrita.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Confundir el incentro con el circuncentro: el incentro sale de las bisectrices, no de las mediatrices.
  • Cambiar la abertura entre XA e YA: Za se desplaza y la bisectriz sale mal.
  • Trazar la circunferencia con un radio distinto de IT: deja de tocar al lado.
Los pasos por escrito
  1. El triángulo ABC. Tenemos el triángulo ABC. Vamos a buscar el punto que está a la misma distancia de sus tres lados. Ese punto es el incentro, y la circunferencia que lo tiene por centro toca a los tres lados.
  2. Bisectriz del vértice A. Pincha en A con abertura de 25 mm y corta AB en XA y AC en YA. Desde XA y YA, con abertura de 35 mm, traza arcos que se corten en Za. La recta A-Za es la bisectriz de A. Za está a igual distancia de XA y de YA, así que equidista de los dos lados del ángulo A.
  3. Bisectriz del vértice B. Repite con el vértice B: arcos de 25 mm desde B que corten BA en XB y BC en YB, y arcos de 35 mm desde XB y YB que se corten en Zb. Traza la recta B-Zb. Igual que en A, Zb equidista de los dos lados del ángulo B.
  4. El incentro I. Las dos bisectrices se cortan en un punto. Márcalo con I: es el incentro del triángulo. El incentro está en la bisectriz de A y en la de B, así que equidista de los tres lados.
  5. Perpendicular desde I a AB. Desde I traza la perpendicular a AB y llama T al punto donde toca el lado. Une I con T. El radio de la circunferencia inscrita es perpendicular al lado en el punto de tangencia.
  6. La circunferencia inscrita. Pincha en I con abertura IT y traza la circunferencia. Toca a AB en T. Todos los puntos de la circunferencia están a la distancia IT de su centro I.
  7. Los otros dos puntos de tangencia. Desde I baja las perpendiculares a BC y a CA. Llama T2 y T3 a los puntos donde tocan esos lados. I está a la misma distancia de los tres lados, así que la circunferencia también toca a BC y a CA.
  8. Comprueba la tangencia. La circunferencia toca a los tres lados en T, T2 y T3, y el radio IT es perpendicular a cada lado. Una tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto; por eso la circunferencia es inscrita.