Bloque 3 · Arco capaz

Arco capaz de un ángulo

Enunciado

Dado el ángulo PVQ y el segmento AB, traza el arco capaz: el lugar de los puntos desde los que AB se ve bajo ese mismo ángulo.

Idea clave. Todos los puntos del arco capaz ven AB bajo el mismo ángulo. Su centro está en la mediatriz de AB y en la perpendicular al lado trasladado por A.

Si te atascas, repasa

Errores frecuentes

  • Trasladar el ángulo con el lado equivocado: el arco sale hacia el lado contrario y el ángulo ATB no coincide.
  • Elegir el punto de la mediatriz al otro lado de AB: el arco capaz queda del lado que no corresponde.
Los pasos por escrito
  1. Los datos. Tenemos el ángulo PVQ de vértice V y el segmento AB. Queremos el lugar de los puntos que ven AB bajo ese mismo ángulo. Si un punto ve AB bajo el ángulo α, su arco de circunferencia tiene la misma medida para cualquier punto de ese arco.
  2. Arcos con centro en V. Pincha en V y traza un arco que corte a los dos lados. Llama X al corte con VP y Y0 al corte con VQ. Así tenemos el ángulo medido sobre una circunferencia de centro V.
  3. Copia el ángulo en A. Pincha en A y traza un arco que corte AB en B0. Mide con el compás la distancia XY0, y con esa abertura, pincha en B0 y corta el arco de A en Y: el ángulo BAY es igual al ángulo PVQ. Dos arcos con cuerdas iguales abarcan ángulos iguales: así se traslada el ángulo a A.
  4. Traza el lado AY. Une A con Y. Ahora el ángulo BAY tiene la misma medida que PVQ. AY es el lado trasladado del ángulo; el arco capaz es tangente a esta recta en A.
  5. Perpendicular a AY por A. Por A traza la perpendicular a AY: marca sobre ella un punto Z, del lado de arriba de AB, a la distancia que quieras de A, y une A con Z. El radio de un arco es perpendicular a la tangente en su punto, así que el centro del arco capaz está en esta perpendicular.
  6. Mediatriz de AB. Halla el punto medio M de AB y traza su mediatriz, perpendicular a AB por M. El centro de cualquier circunferencia que pasa por A y B está en la mediatriz de AB.
  7. Centro O. La perpendicular a AY por A y la mediatriz de AB se cortan en el centro O del arco capaz. O está a la misma distancia de A y de B (está en la mediatriz) y el radio OA es perpendicular al lado AY.
  8. Radio OA. Con centro en O y abertura OA, traza el arco que pasa por A y B. OA = OB, así que A y B están en la misma circunferencia de centro O.
  9. El arco capaz. El arco capaz es el arco de centro O que va de A a B por el lado de arriba. Su punto más alto es T. Cualquier punto del arco ve AB bajo el ángulo α de PVQ: es el arco capaz.
  10. Comprueba el ángulo. Une T con A y con B: el ángulo ATB mide lo mismo que el ángulo PVQ. El ángulo inscrito en el arco mide la mitad del ángulo central que abarca AB, y eso es lo que hemos trasladado.